TEMA 1: ¿Qué es una Función Lineal?
Una función lineal es una relación entre dos variables (usualmente 'x' e 'y') que, al ser dibujada en un plano cartesiano, forma una línea recta. Su característica principal es que el cambio entre las variables es siempre constante.
Ejemplos Conceptuales
1. El costo de la fruta: Si 1 kg de manzanas cuesta $1.500, el costo total es una función lineal: Costo = 1500 * Kilos. Por cada kilo extra, el precio sube siempre la misma cantidad.
2. Un auto a velocidad constante: Si un auto viaja a 100 km/h, la distancia que recorre es una función lineal del tiempo: Distancia = 100 * Horas. Cada hora que pasa, recorre los mismos 100 km.
3. (No lineal) Área de un cuadrado: El área de un cuadrado depende de su lado (Área = Lado²). Si el lado es 2, el área es 4. Si el lado es 3, el área es 9. El aumento no es constante. Esto no forma una línea recta.
4. (No lineal) Crecimiento de una inversión con interés compuesto: El dinero crece sobre el dinero ya ganado, por lo que el aumento es cada vez mayor. Esto forma una curva exponencial, no una línea recta.
TEMA 2: La Fórmula Secreta (y = mx + b)
Esta es la forma más común de la ecuación de una recta. Cada parte tiene un significado:
- 'm' es la PENDIENTE: Nos dice qué tan inclinada está la línea y si sube (positivo) o baja (negativo).
- 'b' es la ORDENADA AL ORIGEN: Nos dice el punto exacto donde la línea corta al eje vertical Y.
Ejemplos Desarrollados
1. Ecuación y = 5x - 3
- La pendiente m = 5.
- La ordenada al origen b = -3.
2. Ecuación y = -x + 7
- La pendiente m = -1.
- La ordenada al origen b = 7.
3. Ecuación y = x
- La pendiente m = 1.
- La ordenada al origen b = 0 (porque no hay término sumando).
4. Ecuación y = 10
- La pendiente m = 0 (porque no hay término con 'x').
- La ordenada al origen b = 10.
Ejercicios Prácticos
1. Para y = -2x + 8, ¿cuál es el valor de la pendiente (m)?
2. Para y = x - 5, ¿cuál es el valor de la ordenada al origen (b)?
3. Para y = 12x, ¿cuál es el valor de la ordenada al origen (b)?
4. Para y = -x, ¿cuál es el valor de la pendiente (m)?
TEMA 5: Calculando la Pendiente
Si conoces dos puntos de la línea, puedes encontrar la pendiente 'm' con la fórmula:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Ejemplos Desarrollados
1. Puntos A=(2, 3) y B=(4, 7)
m = (7 - 3) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2
2. Puntos C=(-1, 5) y D=(2, -1)
m = (-1 - 5) / (2 - (-1)) = -6 / 3 = -2
3. Puntos E=(0, 4) y F=(4, 4)
m = (4 - 4) / (4 - 0) = 0 / 4 = 0
4. Puntos G=(2, 5) y H=(4, 6)
m = (6 - 5) / (4 - 2) = 1 / 2 = 0.5
Ejercicios Prácticos
1. Calcula la pendiente entre los puntos (2, 1) y (5, 7).
2. Calcula la pendiente entre (0, 8) y (2, 4).
3. Calcula la pendiente entre (-3, -2) y (1, 6).
4. Calcula la pendiente entre (5, 3) y (-1, 3).
TEMA 6: Moviendo la Línea Recta (Traslaciones)
Puedes mover una recta sin cambiar su inclinación.
Ejemplos Desarrollados
1. Mover y = 2x + 1, 3 unidades HACIA ARRIBA.
Desarrollo: Se suma 3 a 'b'. y = 2x + (1 + 3).
Resultado: y = 2x + 4.
2. Mover y = 2x + 1, 3 unidades a la DERECHA.
Desarrollo: Se reemplaza 'x' por '(x - 3)'. y = 2(x - 3) + 1 → y = 2x - 6 + 1.
Resultado: y = 2x - 5.
3. Mover y = -x + 5, 2 unidades HACIA ABAJO.
Desarrollo: Se resta 2 a 'b'. y = -x + (5 - 2).
Resultado: y = -x + 3.
4. Mover y = 3x, 4 unidades a la IZQUIERDA.
Desarrollo: Se reemplaza 'x' por '(x + 4)'. y = 3(x + 4).
Resultado: y = 3x + 12.
Ejercicios Prácticos
1. Si mueves y = 5x + 10, 4 unidades HACIA ABAJO, ¿cuál es el nuevo valor de 'b'?
2. Si mueves y = 5x + 10, 2 unidades HACIA ARRIBA, ¿cuál es el nuevo valor de 'b'?
3. Al mover y = 4x, 2 unidades a la DERECHA, la ecuación es y = 4(x-2). ¿Cuál es el nuevo valor de 'b' en la forma simplificada?
4. Al mover y = x+1, 1 unidad a la IZQUIERDA, la ecuación es y = (x+1)+1. ¿Cuál es el nuevo valor de 'b'?
TEMA 7: 3 Formas de Construir la Ecuación
Ejemplos Desarrollados
1. Caso 1 (Conoces m y b): m = -2 y b = 10.
Resultado: y = -2x + 10.
2. Caso 2 (Conoces m y un punto): m = 3 y pasa por (2, 5).
Desarrollo: y = 3x + b → 5 = 3(2) + b → 5 = 6 + b → b = -1.
Resultado: y = 3x - 1.
3. Caso 3 (Conoces dos puntos): A=(1, 4) y B=(3, 10).
Desarrollo: Primero, m = (10 - 4) / (3 - 1) = 3. Luego, Caso 2 con m=3 y A=(1,4) → y = 3x + b → 4 = 3(1) + b → b = 1.
Resultado: y = 3x + 1.
4. Caso 3 (con negativos): A=(-2, 6) y B=(1, 0).
Desarrollo: Primero, m = (0 - 6) / (1 - (-2)) = -2. Luego, Caso 2 con m=-2 y B=(1,0) → y = -2x + b → 0 = -2(1) + b → b = 2.
Resultado: y = -2x + 2.
Ejercicios Prácticos
1. (Caso 2) Si m = 4 y la recta pasa por (2, 10), ¿cuál es el valor de 'b'?
2. (Caso 3) La recta pasa por (0, 5) y (2, 9). ¿Cuál es el valor de 'm'?
3. (Continuación del 2) Sabiendo que m = 2 y pasa por (0, 5), ¿cuál es el valor de 'b'?
4. (Caso 2) Si m = -1 y la recta pasa por (5, -5), ¿cuál es el valor de 'b'?
TEMA 1 (v2): La Forma ax + by = c
En esta forma, 'x' e 'y' están en el mismo equipo. Un método rápido para dibujarla es encontrar los cruces (interceptos) con los ejes.
Ejemplos Desarrollados
1. Interceptos de 3x + 2y = 12
- Cruce Y (x=0): 2y = 12 → y = 6. Punto (0, 6).
- Cruce X (y=0): 3x = 12 → x = 4. Punto (4, 0).
2. Interceptos de 5x - y = 10
- Cruce Y (x=0): -y = 10 → y = -10. Punto (0, -10).
- Cruce X (y=0): 5x = 10 → x = 2. Punto (2, 0).
3. Convertir y = 2x - 6 a la forma general
Desarrollo: Se pasan las variables a un lado. -2x + y = -6.
Resultado: -2x + y = -6 (o 2x - y = 6).
4. Convertir 4x + 8y = 16 a la forma y=mx+b
Desarrollo: Se despeja 'y'. 8y = -4x + 16 → y = (-4x + 16) / 8.
Resultado: y = -0.5x + 2.
Ejercicios Prácticos
1. Para x + 3y = 9, ¿cuál es el intercepto en el eje X?
2. Para 4x + 2y = 8, ¿cuál es el intercepto en el eje Y?
3. ¿El punto (2, 3) pertenece a la recta 5x - 2y = 4? (si o no)
4. Para la recta 2x + 5y = 15, ¿cuál es su pendiente (m = -a/b)? (en decimal)
TEMA 5 (v2): Paralelas y Perpendiculares
Las paralelas tienen la misma pendiente (m1 = m2). Las perpendiculares se cruzan a 90° (m1 * m2 = -1).
Ejemplos Desarrollados
1. Pendiente paralela a y = -3x + 1
La pendiente original es m = -3. Una paralela debe tener la misma.
Resultado: m = -3.
2. Pendiente perpendicular a y = 2x - 5
La pendiente original es m1 = 2. La perpendicular es m2 = -1 / m1.
Resultado: m = -1/2 (o -0.5).
3. Recta perpendicular a 2x + 5y = 1
Truco del Intercambio: a=2, b=5 → intercambia → a=5, b=2 → cambia un signo → a=5, b=-2.
Resultado: 5x - 2y = 10 (el 10 puede ser cualquier número).
4. ¿Son y = 4x + 1 y x + 4y = 8 perpendiculares?
Desarrollo: m1 = 4. Para la segunda, m2 = -a/b = -1/4. Verificamos: 4 * (-1/4) = -1.
Resultado: Sí, son perpendiculares.
Ejercicios Prácticos
1. ¿Cuál es la pendiente de una recta paralela a y = 7x - 9?
2. ¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a y = 5x + 2? (en decimal)
3. ¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a y = -x + 3?
4. La recta 6x + 2y = 10, ¿es paralela a y = -3x - 1? (si o no)
TEMA 7 (v2): Casos Especiales
Recta Horizontal: Plana, paralela al eje X. Su pendiente es m=0 y su ecuación es y = b. Falta el término 'x'.
Recta Vertical: Recta, paralela al eje Y. Su pendiente es indefinida y su ecuación es x = k. Falta el término 'y'.
Ejemplos Desarrollados
1. Ecuación y = 8: Es una recta horizontal que cruza el eje Y en 8. Su pendiente es 0.
2. Ecuación x = -3: Es una recta vertical que cruza el eje X en -3. Su pendiente es indefinida.
3. Ecuación 5y = 20: Se simplifica a y = 4. Es una recta horizontal.
4. Ecuación para una recta vertical que pasa por (7, 2): La ecuación solo se fija en la coordenada x. Resultado: x = 7.
Ejercicios Prácticos
1. La ecuación y = 8 corresponde a una recta... (horizontal o vertical)
2. La ecuación x = -3 corresponde a una recta... (horizontal o vertical)
3. ¿Cuál es la pendiente de la recta y = 20?
4. ¿Qué ecuación describe una recta vertical que pasa por el punto (5, 2)? (ej: x=1)
TEMA 8 (v2): Punto de Cruce
Si dos rectas no son paralelas, se cruzan en un único punto.
Ejemplos Desarrollados
1. Cruce de y = 2x + 1 y y = -x + 7
Desarrollo: Se igualan → 2x + 1 = -x + 7 → 3x = 6 → x = 2. Se reemplaza x=2 en la primera: y = 2(2) + 1 = 5.
Resultado: (2, 5).
2. Cruce de 2x + 3y = 12 y 4x - 3y = 6
Desarrollo: Se suman las ecuaciones → 6x = 18 → x = 3. Se reemplaza x=3 en la primera: 2(3) + 3y = 12 → 3y = 6 → y = 2.
Resultado: (3, 2).
3. Cruce de y = 4x y x + y = 5
Desarrollo: Se sustituye y=4x en la segunda: x + (4x) = 5 → 5x = 5 → x = 1. Se reemplaza x=1 en la primera: y = 4(1) = 4.
Resultado: (1, 4).
4. Cruce de 2x + y = 10 y x - y = -1
Desarrollo: Se suman las ecuaciones → 3x = 9 → x = 3. Se reemplaza x=3 en la segunda: 3 - y = -1 → -y = -4 → y = 4.
Resultado: (3, 4).
Ejercicios Prácticos
1. Encuentra la coordenada 'x' del cruce de y = x + 1 y y = -x + 5.
2. (Continuación del 1) Ahora encuentra la coordenada 'y'.
3. Encuentra la coordenada 'x' del cruce de x + y = 8 y x - y = 2.
4. (Continuación del 3) Ahora encuentra la coordenada 'y'.
TEMA 9 (v2): Forma Punto-Pendiente
Es la herramienta más rápida cuando tienes una pendiente y un solo punto. La fórmula es:
y - y1 = m(x - x1)
Ejemplos Desarrollados
1. Ecuación para m=2 y punto (3, 8):y - 8 = 2(x - 3). Simplificando: y = 2x - 6 + 8 → y = 2x + 2.
2. Ecuación para m=-1 y punto (5, 2):y - 2 = -1(x - 5). Simplificando: y - 2 = -x + 5 → y = -x + 7.
3. Ecuación para m=0.5 y punto (-4, 1):y - 1 = 0.5(x - (-4)). Simplificando: y - 1 = 0.5x + 2 → y = 0.5x + 3.
4. Ecuación para m=-3 y punto (0, 6):y - 6 = -3(x - 0). Simplificando: y - 6 = -3x → y = -3x + 6.
Ejercicios Prácticos
1. Usando la fórmula, ¿cómo queda la ecuación para m=3 y punto (1, 5)? (ej: y-1=2(x-3))
2. Simplifica la ecuación y - 5 = 3(x - 1) para encontrar 'b'.
3. Usando la fórmula, ¿cómo queda la ecuación para m=1 y punto (7, 7)?
4. Simplifica y-7=x-7 para encontrar 'b'.
TEMA 10 (v2): Forma Simétrica
Útil cuando sabes en qué números la recta corta a los dos ejes. La fórmula es:
(x / a) + (y / b) = 1
Donde 'a' es el corte con el eje X y 'b' es el corte con el eje Y.
Ejemplos Desarrollados
1. Interceptos a=4, b=-2:
Ecuación: (x/4) + (y/-2) = 1. Multiplicando por 4 para simplificar: x - 2y = 4.
2. Interceptos a=3, b=5:
Ecuación: (x/3) + (y/5) = 1. Multiplicando por 15 para simplificar: 5x + 3y = 15.
3. Interceptos a=-1, b=-6:
Ecuación: (x/-1) + (y/-6) = 1. Multiplicando por -6 para simplificar: 6x + y = -6.
4. De la ecuación x - 2y = 4 encontrar la forma y=mx+b:
Despejamos 'y': -2y = -x + 4 → y = (-x + 4) / -2.
Resultado: y = 0.5x - 2.
Ejercicios Prácticos
1. Para a=5 y b=2, ¿cómo queda la ecuación? (ej: x/1+y/2=1)
2. Simplifica x/5 + y/2 = 1 a la forma ax+by=c multiplicando por 10. (ej: 2x+3y=4)
3. Para la recta x/6 + y/3 = 1, ¿en qué número corta al eje Y?
4. Para la recta x/-2 + y/4 = 1, ¿en qué número corta al eje X?
TEMA 11 (v2): Aplicaciones en la Vida Real
Las funciones lineales modelan situaciones cotidianas con un valor inicial y un cambio constante.
Ejemplos Desarrollados
1. Plan de celular: Cuesta $10.000 fijos al mes más $500 por cada Giga. El valor fijo es b=10000 y el cambio constante es m=500. La ecuación es y = 500x + 10000.
2. Presupuesto en la feria: Tomates ('x') a $1000/kg y papas ('y') a $800/kg, con un presupuesto de $4000. La ecuación es 1000x + 800y = 4000.
3. Llenado de una piscina: Una piscina contiene 200 litros de agua y se llena a razón de 50 litros por minuto. La ecuación es y = 50x + 200, donde 'y' es la cantidad total de agua y 'x' son los minutos.
4. Sueldo de un vendedor: Un vendedor gana $400.000 de base más una comisión del 5% (0.05) sobre sus ventas ('x'). La ecuación es y = 0.05x + 400000.
Ejercicios Prácticos
1. Un taxi cobra $500 de bajada de bandera (fijo) y $200 por km. ¿Cuál es el valor de la pendiente (m)?
2. (Continuación del 1) ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen (b)?
3. (Continuación del 1) Usando y = 200x + 500, ¿cuánto costaría un viaje de 10 kilómetros?
4. Un videojuego te da 100 gemas al empezar y ganas 5 gemas por cada nivel. ¿Cuántas gemas tendrás después de pasar 20 niveles?